pitáBLOGas: Buscando a Pi

Seguro que ya conoces el número Pi (π). Ese 3,14 que usamos para calcular perímetros de circunferencias y superficies de círculos. Pero Pi no es 3,14, es mucho más.

Pi es un númro irracional. Esto quiere decir que Pi no puede expresarse como una fracción ^m⁄_n, donde m y n son enteros y n es diferente a cero. Es por esto por lo que el número Pi tiene infinitos decimales.

Pero ¿de dónde sale Pi? Pues Pi es la relación entre el perímetro (o longitud) de de una circunferencia y su diámetro. Si tomamos una circunferencia de diámetro 1, su perímetro mide Pi.

Entonces ya sabemos cómo calcular el perímetro de una circunferencia conociendo su diámetro o su radio.

Perímetro = π · Diámetro = π · D = π · 2 · r = 2·π·r

¿Y cómo sabemos el área del círculo? Pues vamos a tratar de desmostrarte esa fórmula que ya conoces:

A = π · r²

APROXIMACIÓN A CUADRADOS

Vamos a empezar dibujando un cuadrado que englobe el círculo.

Ahora vamos a calcular el área de este cuadrado.

Acuadrado = l · l = D · D = 2r · 2r = 4r²

Como este cuadrado es mayor que el círculo su área también lo es: π r² < 4r²

Ahora vamos a calcular el área del cuadrado inscrito en el círculo. Esto vamos a hacerlo de dos formas distintas: como lo haría un listillo y como lo haría un bruto.

Método del listillo:

Un listillo rápidamente se daría cuenta de que el valor de la diagonal de este cuadrado es el diámetro del círculo. Entonces podemos usar el triangulo de Pitágoras para calcular los lados del cuadrado.

D² = l² + l² = 2 · l²

l= √D²/2

Y por tanto el área de este cuadrado es:

Acuadrado = l · l = √D²/2 · √D²/2 = D²/2 = (2r)²/2 = 4r²/2 = 2r²

Método del bruto:

Un bruto dividiría el cuadrado en cuatro triángulos iguales y después crearía un rectángulo con estas cuatro piezas triangulares.

De esta manera llegaría de la misma forma a la ecuación del área:

Acuadrado = Arectángulo = b · h = 2r · r = 2 r²

Como este cuadrado es menor que el círculo su área también lo es: 2 r² < π r²

Así que con la aproximación a cuadrados hemos obtenido que: 2 r² < π r² < 4r²

APROXIMACIÓN A HEXÁGONOS

¿Quieres concretar un poco más el número π? Vamos a repetir el proceso pero con hexágonos en lugar de cuadrados.

Comenzamos inscribiendo el hexágono dentro del círculo.

Y como hemos visto que el Método del bruto es más cómodo de entender vamos a aplicarlo dividiendo el hexágono en seis triángulos equiláteros iguales.

Ahora movemos los triángulos de esta forma.

Por último calculamos el área del romboide resultante. ¿Recuerdas la fórmula del área del romboide? Si no es así, no te preocupes. Vamos a aplicar de nuevo el Método del bruto y... ¡un rectángulo!

¿Sabemos las medidas de este rectángulo?

Parece claro que su base es igual a tres veces el lado del triángulo, pero ¿y la altura?

Pues dividimos uno de los seis triángulos equiláteros en los que hemos dividido el hexágono inscrito trazando su altura (h) y obtenemos dos triángulos rectángulos iguales en los que podemos aplicar el triángulo de Pitágoras como hacía el listillo.

Si prestamos atención, nos damos cuenta de que conocemos el valor de la hipotenusa a, ya que se trata del radio del círculo y el valor del cateto menor b, ya que coincide con medio radio del círculo. Utilizamos el triangulo de Pitágoras y...

Por lo que ya conocemos la base del rectángulo (tres veces el lado del triángulo) y la altura, por lo que podemos calcular su área:

Como este hexágono es menor que el círculo su área también lo es:

A su vez, como el hexágono se aproxima mejor al círuclo que el cuadrado, tenemos:

Ahora dibujamos el hexágono que inscribe al círculo.

Al dividir el hexágono en seis triángulos equiláteros iguales obtenemos unos triángulos de los que, a priori, solo conocemos que sus alguras, h, son iguales al radio, r. Por lo que esta vez resulta más complicado obtener las medidas de cada triángulo para poder calcular el área total del hexágono. Así que vamos a simplificar cálculos y vamos a optar por la Relación de Semejanza.

Conocemos que la altura, h, de uno de los seis triángulos equiláteros que compone el hexágono inscrito era

y su base era el radio, r. Y conocemos que la altura, h, de uno de los seis triángulos equiláteros que compone el hexágono que inscribe es el radio, r. Así que aplicando la Relación de Semejanza podemos calcular la longitud de su base (llamamos B a la base de uno de los triángulos equiláteros que forman el hexágono que inscribe la circunferencia y A a la altura del mismo, llamamos b a la base de uno de los triángulos equiláteros que forman el hexágono inscrito en la circunferencia y a a la altura del mismo).