¿Serías capaz de calcular la altura de un edificio con una regla?

Vamos a empezar adaptando una curiosa historia.

<< Hace algún tiempo, recibimos la llamada de un colega profesor. Estaba a punto de ponerle un cero a un estudiante por la respuesta que había dado en un problema de física. Como el estudiante afirmaba que su respuesta era absolutamente acertada, acordaron pedir arbitraje de alguien imparcial y fuimos elegidos.

La pregunta del examen decía: "¿Qué harías para determinar la altura de un edificio con una regla?"

El estudiante había respondido: "Llevo la regla a la azotea del edificio y le ato una cuerda muy larga. Descuelgo la regla hasta la base del edificio, marco en la cuerda y después mido la longitud de la cuerda con la regla."

Realmente, el estudiante había planteado un serio problema con la resolución del ejercicio, porque había contestado a la pregunta, correcta y completamente. Por otro lado, si se le concedía la máxima puntuación, se estaría certificando su algo nivel de física. Pero la respuesta no confirmaba que el estudiante tuviera ese nivel.

Sugerimos que se le diera al alumno otra oportunidad. Le concedimos seis minutos para que me respondiera la misma pregunta. Pero esta vez con la advertencia de que en la respuesta debía demostrar sus conocimientos de física.

Habían pasado cinco minutos y el estudiante no había escrito nada. Le preguntamos si deseaba marcharse, pero me contestó que tenía muchas respuestas al problema. Su dificultad era elegir la mejor de todas. En el minuto que le quedaba escribió la siguiente respuesta:

"Cojo la regla y la tiro desde la azontea a la calle. Calculo el tiempo de la caída con un cronómetro. Después aplico la fórmula:

Altura = 0,5 G · T²

(donde G es la aceleración de la gravedad y T es el tiempo que acabo de calcular con el cronómetro). Y así obtengo la altura del edificio."

En este momento pedimos al estudiante que saliera del despacho. Le pusimos la nota más alta.

Tras salir del despacho, nos encontramos con el estudiante y le pedimos que me contara sus otras respuestas a la pregunta.

"Sí", contestó, "Este es un procedimiento muy básico para medir un edificio, pero también sirve. En este método, te situas en las escaleras del edificio en la planta baja. A medida que vas subiendo las escaleras, vas marcando con la regla y cuentas el número de marcas hasta la azotea. Multiplicas la longitud de la regla por el número de marcas que hiciste y ya tienes la altura. Este es un método muy directo."

"Perfecto", dijimos, "¿y de otra manera?"

"Probablemente, la mejor sea tomar la regla y golpear con ella la puerta del portero. Cuando abra, decirle: señor portero, aquí tengo una bonita regla. Si usted me dice la altura de este edificio, se la regalo."

En este momento de la conversación, le preguntamos si no conocía la respuesta convencional al problema.

Nos dijo que sí, que evidentemente la conocía. Pero que durante sus estudios, sus profesores habían intentado enseñarle a pensar. >>

Curioso, ¿No crees?

Pues ahora vamos a ver cuál es esa forma convencional de resolver el problema de calcular la altura de un edificio con una regla.

Lo primero que debemos hacer es buscar qué tienen en común el edificio y la regla, en qué son semejantes, y nos podría servir para saber la altura del edificio.

¿No se te ocurre? Pues aunque parezca raro, es ¡¡LA SOMBRA!! Sí, tanto el edifio como la regla dan sombra. Parece una tontería, pero fíjate qué curioso.

Si nos fijamos bien el edifio es alto y proyecta una gran sombra alargada, mientras que nuestra regla da una sombra mucho menor.

Como vemos en el dibujo, tanto el edificio y su sombra como la regla y su sombra forman triángulos. Pues estos triángulos, al tener sus ángulos iguales, son semejantes. ¿Y esto para qué sirve? Pues sencillo. Ya hemos visto que la sombra del edificio, B, es mayor que la sombra de la regla, b, porque el edificio, A, es mayor que la regla, a. Pero además la sombra del edificio, B, es tantas veces mayor que la sombra de la regla, b, como el edificio, A, es mayor que la regla, a.

Poniendo un ejemplo: Si la sombra del edificio, B, es 12 veces más grande la sombra de la regla, b,

B = 12 · b

entonces el edificio, A, será 12 veces más grande que la regla, a.

A = 12 · a

Si aplicamos un poco de las matemáticas que sabemos tenemos que: 

O expresado de otras maneras:

Sencillo, ¿verdad? Pues esto ocurre siempre que dos figuras, triángulos o no, son semejantes (sus ángulos son iguales, solo cambia su tamaño).

¿Encuentras otra forma de medir la altura de un edificio usando una regla?